Transformée De Fourier Python

1. Transformée de Fourier Ce document introduit la transformée de Fourier discrète (TFD) comme moyen d'obtenir une approximation numérique de la transformée de Fourier d'une fonction. Soit un signal u(t) (la variable t est réelle, les valeurs éventuellement complexes). Sa transformée de Fourier(TF) est: S ( f) = ∫ - ∞ ∞ u ( t) exp ( - j 2 π f t) d t Si u(t) est réel, sa transformée de Fourier possède la parité suivante: S ( - f) = S ( f) * Le signal s'exprime avec sa TF par la transformée de Fourier inverse: u ( t) = ∫ - ∞ ∞ S ( f) exp ( j 2 π f t) d f Lors du traitement numérique d'un signal, on dispose de u(t) sur une durée T, par exemple sur l'intervalle [-T/2, T/2]. D'une manière générale, un calcul numérique ne peut se faire que sur une durée T finie.

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show () Cas extrême où f=Fe ¶ import numpy as np Te = 1 / 2 # Période d'échantillonnage en seconde t_echantillons = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons plt. scatter ( t_echantillons, x ( t_echantillons), color = 'orange', label = "Signal échantillonné") plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$) à $Fe=2\times f$") Calcul de la transformée de Fourier ¶ # Création du signal import numpy as np f = 1 # Fréquence du signal A = 1 # Amplitude du signal return A * np. pi * f * t) Durée = 3 # Durée du signal en secondes Te = 0. 01 # Période d'échantillonnage en seconde x_e = x ( te) plt. scatter ( te, x_e, label = "Signal échantillonné") plt. title ( r "Signal échantillonné") from import fft, fftfreq # Calcul FFT X = fft ( x_e) # Transformée de fourier freq = fftfreq ( x_e. size, d = Te) # Fréquences de la transformée de Fourier plt. subplot ( 2, 1, 1) plt. plot ( freq, X. real, label = "Partie réel") plt. imag, label = "Partie imaginaire") plt. xlabel ( r "Fréquence (Hz)") plt.

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La transformée de Fourier permet de représenter le spectre de fréquence d'un signal non périodique. Note Cette partie s'intéresse à un signal à une dimension. Signal à une dimension ¶ Un signal unidimensionnel est par exemple le signal sonore. Il peut être vu comme une fonction définie dans le domaine temporel: Dans le cas du traitement numérique du signal, ce dernier n'est pas continu dans le temps, mais échantillonné. Le signal échantillonné est obtenu en effectuant le produit du signal x(t) par un peigne de Dirac de période Te: x_e(t)=x(t)\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT_e) Attention La fréquence d'échantillonnage d'un signal doit respecter le théorème de Shannon-Nyquist qui indique que la fréquence Fe d'échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence maximale f du signal à échantillonner: Transformée de Fourier Rapide (notée FFT) ¶ La transformée de Fourier rapide est un algorithme qui permet de calculer les transformées de Fourier discrète d'un signal échantillonné.

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On note pour la suite X(f) la FFT du signal x_e(t). Il existe plusieurs implantations dans Python de la FFT: pyFFTW Ici nous allons utiliser pour calculer les transformées de Fourier. FFT d'un sinus ¶ Création du signal et échantillonnage ¶ import numpy as np import as plt def x ( t): # Calcul du signal x(t) = sin(2*pi*t) return np. sin ( 2 * np. pi * t) # Échantillonnage du signal Durée = 1 # Durée du signal en secondes Te = 0. 1 # Période d'échantillonnage en seconde N = int ( Durée / Te) + 1 # Nombre de points du signal échantillonné te = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons t = np. linspace ( 0, Durée, 2000) # Temps pour le signal non échantillonné x_e = x ( te) # Calcul de l'échantillonnage # Tracé du signal plt. scatter ( te, x_e, color = 'orange', label = "Signal échantillonné") plt. plot ( t, x ( t), '--', label = "Signal réel") plt. grid () plt. xlabel ( r "$t$ (s)") plt. ylabel ( r "$x(t)$") plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$)") plt. legend () plt.

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54+0. 46*(2**t/T) def signalHamming(t): return signal(t)*hamming(t) tracerSpectre(signalHamming, T, fe) On obtient ainsi une réduction de la largeur des raies, qui nous rapproche du spectre discret d'un signal périodique.

b=0. 1 return (-t**2/a**2)*(2. 0**t/b) t = (start=-5, stop=5, step=0. 01) u = signal(t) plot(t, u) xlabel('t') ylabel('u') Dans ce cas, il faut choisir une fréquence d'échantillonnage supérieure à 2 fois la fréquence de la sinusoïde, c. a. d. fe>2/b. fe=40 2. c. Fenêtre rectangulaire Soit une fenêtre rectangulaire de largeur a: if (abs(t) > a/2): return 0. 0 else: return 1. 0 Son spectre: fe=50 Une fonction présentant une discontinuité comme celle-ci possède des composantes spectrales à haute fréquence encore non négligeables au voisinage de fe/2. Le résultat du calcul est donc certainement affecté par le repliement de bande. 3. Signal à support non borné Dans ce cas, la fenêtre [-T/2, T/2] est arbitrairement imposée par le système de mesure. Par exemple sur un oscilloscope numérique, T peut être ajusté par le réglage de la base de temps. Considérons par exemple un signal périodique comportant 3 harmoniques: b = 1. 0 # periode w0=1* return (w0*t)+0. 5*(2*w0*t)+0. 1*(3*w0*t) La fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à 6/b pour éviter le repliement de bande.