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Dans ce cas, on calcule la probabilité en effectuant le quotient du nombre d'internes qui utilisent cmath par le nombre d'internes (et non pas par le nombre d'élèves de la classe). Plutôt qu'un arbre, on utilise de préférence un tableau à double entrée pour présenter les données. Les probabilités en première sur cours, exercices Sur le web • Cours de probabilités de troisième. Issues, événements, probabilité d'un événement, probabilités et fréquences. • Cours de probabilités de seconde. Calculs de probabilités dans le cas de la répétition d'une même expérience aléatoire, union et intersection d'événements. • Cours de première sur les variables aléatoires. Cours Probabilités : Première. Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire. • Cours de probabilités de terminale. Probabilités conditionnelles, dénombrement.
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Soit: 150 +100 + 50 = 300 élèves. Et donc la probabilité cherchée vaut 300/450 soit 2/3. Arbre de probabilités Il faut en faire quelques uns pour que leur maniement devienne fluide et comprendre quand il faut les utiliser ou alors avoir de bons souvenirs du programme de maths de 1ère et Terminale. Se souvenir: Quand on veut tout un chemin (une intersection ∩), on multiplie les probabilités. Si plusieurs chemins conviennent, on les additionne. Probabilités : cours et formules de probabilités de base. Exemple type pour illustrer les arbres en probabilités: Un groupe est constitué aux trois quarts de garçons. On sait de plus que la moitié des garçons aime les maths contre 60% des filles. On choisit une personne du groupe au hasard, quelle est la probabilité qu'elle aime les maths? Quand on construit un arbre, il y a une forme de chronologie. Ici: D'abord on est un garçon ou une fille, puis on aime les maths ou pas Le squelette de l'arbre est le suivant: On le complète alors: Pour les calculs, il faudra être cohérent: soit uniquement des fractions soit des pourcentages.
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Propriété: La somme des probabilités d'une loi de probabilité de la variable aléatoire X X est égale à 1. On note aussi: ∑ i = 1 p P ( X = x i) = 1 \sum_{i=1}^p P(X=x_i)=1 3. Espérance d'une variable aléatoire. On appelle espérance mathématique de X X le nombre noté E ( X) E(X) et défini par E ( X) = x 1 × p 1 + x 2 × p 2 + … + x n × p n = ∑ i = 1 n x i p i E(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \ldots + x_n\times p_n = \sum_{i=1}^n x_i p_i Dans l'exemple précédent, on peut calculer l'espérance mathématique. E ( X) = − 3 × 3 9 + 1 × 4 9 + 10 × 2 9 E(X)=-3\times\frac{3}{9} + 1\times\frac{4}{9} + 10\times\frac{2}{9} E ( X) = − 9 + 4 + 20 9 E(X)=\frac{-9+4+20}{9} E ( X) = 5 3 E(X)=\frac{5}{3} On a une espérance mathématique égale à 5 3 \frac{5}{3}, soit environ 1, 66 €. E ( X) E(X) a la même unité que la variable aléatoire X X. Les probabilités 1ere 2. Dans l'exemple précédent, il s'agit d'un gain moyen de 1, 66 €. On peut aussi voir que si l'espérance mathématique est positive, le jeu est gagnant, et si elle est négative, le jeu est perdant.
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D'après la question précédente: P ( X = 5 0 0) = P ( T) = 0, 6 2 P( X=500)=P( T)=0, 62 Et: P ( X = 4 0 0) = P ( T ‾) = 1 − 0, 6 2 = 0, 3 8. P( X=400)=P( \overline{ T})=1 - 0, 62=0, 38. Enfin, l'espérance mathématique de X X est: E ( X) = 5 0 0 × 0, 6 2 + 4 0 0 × 0, 3 8 = 4 6 2. E( X)=500 \times 0, 62+400 \times 0, 38=462. Les probabilités 1ere fiv. Ce résultat peut s'interpréter de la façon suivante: La compagnie d'assurance touchera, en moyenne, 462 € par contrat souscrit. Autres exercices de ce sujet:
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Le contraire de cette proposition est: dans cette classe, aucun élève n'aime les maths. Donc le contraire de au moins un fait … est personne ne fait …Cette notion est à maîtriser pour le sous test 3 du Tage Mage et évidemment pour le programme de maths de terminale. Exemple type pour illustrer les événements contraires: Une famille est composée de 3 enfants, quelle est la probabilité qu'il y ait au moins une fille? Sans plus d'indication, on prend pour vrai qu'on a une chance sur deux d'avoir un garçon (ou une fille) à la naissance. Le contraire d'obtenir au moins une fille est: ne pas obtenir de fille, autrement dit avoir 3 garçons. Les probabilités 1ere des. On utilise la formule: P (au moins une fille) = 1 – P (aucune fille) Or la probabilité d'avoir un garçon vaut 1/2, donc d'en avoir 3: = Et donc la probabilité d'avoir au moins une fille vaut: 1 – = – = Union et Intersection en probabilité L'union ∪ signifie: ou (non exclusif) c'est à dire soit l'un, soit l'autre, soit les deux. C'est un et/ou. L'intersection ∩ signifie: et dans le sens de: à la fois, simultanément, ce qu'il y a en commun.
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I. Rappels. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est lié au hasard. Une expérience aléatoire est composée d' issues. Un évènement est composé de plusieurs issues; Une probabilité est un réel positif et inférieur à 1; On note souvent Ω \Omega l'univers associé à l'expérience aléatoire; On note souvent A A un évènement, c'est un sous-ensemble de Ω \Omega; A ˉ \bar{A} est l'évènement contraire de A A: P ( A ˉ) = 1 − P ( A) P(\bar{A})=1-P(A); A ∩ B A\cap B est l'intersection des évènements A A et B B. A ∪ B A\cup B est la réunion des évènements A A et B B. On rappelle que P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). Les probabilités en première : cours et exercices. II. Variables aléatoires 1. Définitions. Utilisons un exemple afin de définir ces nouvelles notions. Exemple: Une urne contient 9 jetons numérotés de 1 à 9. Un joueur tire un jeton au hasard dans l'urne: si le numéro tiré est pair, il gagne 1 €; si le numéro tiré est 1 ou 9, il gagne 10 €; sinon, il perd 3 €.
Le paradoxe des (trois) prisonniers [ 1] proposé par J. Pearl est un simple calcul de probabilités. Il ne doit pas être confondu avec le dilemme du prisonnier inventé par Merrill M. Flood et Melvin Dresher en 1950 et qui relève de la théorie des jeux. Énoncé [ modifier | modifier le code] « Trois prisonniers sont dans une cellule. Ils savent que deux vont être condamnés à mort et un gracié, mais ils ne savent pas qui. L'un d'entre eux va voir le gardien et lui demande: « Je sais bien que tu ne peux rien me dire, mais tu peux au moins me montrer un de mes compagnons qui sera exécuté ». Le gardien réfléchit, se dit que de toute manière au moins l'un des deux autres prisonniers sera condamné, et s'exécute. Le prisonnier lui répond alors: « Merci, avant, j'avais une chance sur trois d'être gracié, et maintenant, j'ai une chance sur deux. » Note: Évidemment, quiconque a en main la décision de grâce sait avec certitude qui est déjà gracié. Le problème se situe au point de vue du prisonnier.
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