Cour Tg : Réseaux De Flots
On distingue 2 sommets particuliers: une source et un puits. Un flot dans le réseau est une fonction à valeur réelle qui, pour tous sommets et, vérifie les 3 propriétés suivantes: Contraintes de capacité. Le flot sur une arête ne peut excéder sa capacité. Anti-symétrie. Le flot du sommet vers le sommet doit être l'opposé du flot de vers (voir l'exemple). Conservation du flot, sauf si ou. Le cumul signé des flots entrant et sortant d'un nœud est nul, sauf pour la source qui en produit, ou pour le puits, qui en consomme. Dit autrement, la conservation du flot entraîne:, pour tout sommet À noter que est le flot signé de à. Si le graphe représente un réseau physique, et s'il s'agit d'un flot réel de, par exemple, 4 unités de vers, et un flot réel de 3 unités de vers, on a et. On dit que le flot (au sens général) d'un réseau physique est le flot partant de la source s, soit. La capacité résiduelle d'une arête est. On peut donc définir le réseau résiduel noté, qui indique la quantité de capacité disponible.
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Graphiquement, un pin est représenté par un petit carré attaché à la bordure d'une activité (cf. figure 6. 7). Il est typé et éventuellement nommé. Il peut contenir des flèches indiquant sa direction (entrée ou sortie) si l'activité ne permet pas de le déterminer de manière univoque. 6. 3 Pin de valeur (value pin) Un pin valeur est un pin d'entrée qui fournit une valeur à une action sans que cette valeur ne provienne d'un arc de flot d'objets. Un pin valeur est toujours associé à une valeur spécifique. Graphiquement, un pin de valeur se représente comme un pin d'entrée avec la valeur associée écrite à proximité. 6. 4 Flot d'objet Figure 6. 8: Deux notations possibles pour modéliser un flot de données. Un flot d'objets permet de passer des données d'une activité à une autre. Un arc reliant un pin de sortie à un pin d'entrée est, par définition même des pins, un flot d'objets (en haut de la figure 6. 8). Dans cette configuration, le type du pin récepteur doit être identique ou parent (au sens de la relation de généralisation) du type du pin émetteur.
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Problèmes liés [ modifier | modifier le code] En fixant certains paramètres, on obtient d'autres problèmes de cheminement. Problème de flot maximum Résoudre le problème du flot maximum entre une source unique et un puits unique dans un graphe revient à résoudre l'instance du problème de flot de coût minimum dans le graphe où: il n'y a pas de contrainte de capacité sur la nouvelle arête:; la nouvelle arête a un coût négatif et,. Puisque le coût entre et est négatif, la condition de minimisation revient à maximiser le flot. Recherche du plus court chemin entre deux nœuds Trouver le plus court chemin entre et revient à résoudre l'instance du problème de flot de coût minimum où: est l'unique source et l'unique puits:, et pour les autres nœuds; il n'y a pas de contrainte de capacité:; le coût unitaire est fixe: Recherche du plus court chemin d'un nœud à tous les autres Trouver le plus court chemin entre une source et les autres nœuds revient à résoudre l'instance du problème de flot de coût minimum où: est l'unique source () alimentant les tous les autres nœuds (); le coût unitaire est fixe:.
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La méthode de génération de colonnes est appliquée sur un modèle ayant un très grand nombre de variables, généralement obtenu après une reformulation du problème original, ce qui rend difficile de le résoudre par l'algorithme du simplexe. La méthode ré- sout itérativement un ou plusieurs problèmes restreints, ainsi que plusieurs sous-problè- mes. Elle débute avec un sous ensemble de variables, et à chaque itération, elle ajoute des variables pouvant améliorer la solution courante du problème maître. Dans notre cas, la méthode de génération de colonnes est appliquée sur les variables de flot xk i j, pour résoudre la relaxation linéaire de la formulation forte du problème MUND. Les différents composants de la méthode sont présentés dans la partie qui suit. 4. 2. 1 Problème maître Dans notre cas, il n'y a aucune reformulation du problème original MUND. En ef- fet, le problème maître correspond à la relaxation linéaire de la formulation forte du problème MUND comme présentée dans la section 4.
Lorsqu'aucun de ces deux cas ne se présente, nous appliquons la génération de coupes pour améliorer la borne inférieure ZRL.
Un chemin est reculant si tous ses arcs le sont. Graphes et flots Michel Bierlaire 6 Chemins Un cycle Hamiltonien est un cycle simple avançant contenant tous les nœuds du graphe. Attention: la suite de nœuds n'est pas toujours suffisante pour décrire le chemin. § 1 2 3 4 5 Nœuds (1, 2, 3, 4, 5) Arcs ((1, 2), (3, 4), (4, 5)) Graphes et flots Michel Bierlaire 7 Flots § § Notation: xij = flot sur arc (i, j) IR Si xij < 0, le flot est orienté dans le sens contraire à l'arc. L'ensemble {xij t. q.